抽象思维是人类在认识客观世界的过程中发展起来的一种重要思维形式。人们在进行抽象思维的时候，总是把自己思考的对象放进特定的运演系统中去，按照系统固有的方式推理，得出结论。推理所使用的法则是抽象思维的核心。由于一般抽象思维的法则并不需要经过严格的论证，除了推理的前提可能导致错误而外，推理法则本身的有效性同样得不到保证，所以通过抽象思维得出的结论不见得正确。

　　我国古代，人们采用五行相生相克和阴阳相反相成的法则判断事物的性质，描述事物发展规律。这种法则是从个别事例中抽象出来的，在大量寻找与这种关系相符合的事例之后，便对这种推理法则深信不疑。事实上，这种通过不完全归纳法创造的推理法则，并不具有逻辑的必然性。由于曾发生过一些阶级失败了，一些阶级胜利了的历史事实，就得出历史辩证法，断言阶级斗争是社会前进的动力，有道理吗？有道理。严密吗？不严密。我国几千年的文明史，并不是用阶级斗争可以完全概括的。其间包含着大量非阶级的斗争，还有大量非斗争的过程。不过有了阶级斗争观点，在研究历史的时候，就可以把需要研究的历史事件放进阶级斗争的理论框架中去，用阶级斗争的观点进行分析，以为这样就抓住了问题的实质。这种做法虽然不失为一种抽象思维的方式，但与逻辑推理无关，与历史的真实过程关系不大。

　　康德认为，时间、空间、因果关系，以及引导我们对感觉进行先天综合的逻辑规则先于经验而存在，是人们与生俱来的。人之所以具有认识能力，就是因为我们的头脑中具有这些先验的逻辑框架。可是，如果我们承认现代人登上历史舞台到现在，不过十多万年，相信第一个应用逻辑规则进行思维的人是现代人。虽然三万五千年前的旧石器时代晚期以来，人类文化发生了翻天覆地的变化，却没有出现过任何超自然的奇迹。上帝不可能为现代人注入智慧，我们的祖先也不可能得到神仙的启示。现代人之所以先进一点，聪明一点，是他们的脑容量大一些，结构复杂一些，尤其是可以从前辈那里得到经过若干世代积累和不断累积起来的的知识，因而想象力丰富一些的缘故。我们用以概括经验的逻辑知识，不可能通过遗传的方式获得，只能与发展认识能力的其他过程一道创造出来。

　　我国很早就开始了对逻辑学的研究。春秋末期名家创始人邓析，善持“两可之说”，提出“按实定名”，“循名责实”的主张，创立了“刑名之辩”。他在指导别人诉讼的时候，要求诉讼双方为自己的胜诉提供充足理由。名家另一重要代表人物公孙龙在“白马非马”的论辩中已经涉及到内涵、外延等概念，论述十分严密。可惜他们的原着都没有留下来，其思想成果只是散乱地记録在后人的著述中。

　　在我国先秦诸子的学术中，对逻辑研究贡献最大的要算墨家。《墨经》是墨家学派的集体创作，其中记録了墨子在逻辑和认识论方面的大量研究成果。墨子认为正确知识有三个重要来源，称为“亲知”、“闻知”和“辩知”，即亲身经验、他人传授和通过推理途径获得。在名学研究方面，墨子采用了“达名”、“类名”与“私名”的划分方式，初步确定了对象的种属层次关系。同时他还按照条件的不同，对推理进行分类概括。《墨经》中所说的“小故”是“有之不必然，无之必不然”，属于非充分必要条件；“大故”为“有之必然”，“非彼必不有”，属于充分必要条件。虽然墨子对推理缺乏全面系统的研究，但是他们研究推理逻辑的切入点是相当准确的。

　　总体说来，我国古代学者缺乏对于推理逻辑的深入研究，得到充分发展的主要是概念逻辑。西方世界和我国拥有不同的学术传统，公元前三百多年前，亚里士多德的逻辑学已经达到很高的水平。他提出了四种实然命题，以字母代替命题中的主词和谓词。同时假定主词、谓词以及它们的矛盾概念均为非空，从而建立了对当关系、换质换位法则和三段论。亚里士多德全面研究了推理的性质。他发现，每一门科学都有一些必须依据但自身无法证明的原则，即该学科的优先原则，也就是我们所说的原始定义与公理，开始涉及科学理论的基础结构。三段论是亚里士多德逻辑学的核心，也是对希腊哲学的重要贡献。

　　在亚里士多德研究的基础上，麦加拉-斯多阿学派的研究涉及到模态逻辑，揭示了正、否、逆、逆否四种命题之间的关系。巴格达逻辑家法拉比在注释亚里士多德著作时，发展了他的假言推理和选言推理的理论。

　　进入中世纪以后，唯名论和唯实论之争推动西方逻辑学的发展。十七世纪中期以后，逻辑学得到了长足的进展。莱布尼兹首先创立使用符号系统简化复杂概念的方法来表示逻辑运演过程，开创了数理逻辑发展的新阶段。十九世纪七十年代，康托尔找到了比较无穷集合大小的一般方法，证明瞭自然数集是无穷集合中的最小者。虽然他没有真正完成连续统假设的论证，可是他关于实无穷的理论，对数理逻辑的发展起到了重要的推动作用。

　　二十世纪初，希尔伯在他的《几何基础》中揭示了欧几里德几何的公理化形式系统，为现代科学理论提供了重要范式。与此同时，罗素和怀特海在他们共同编着的《数学原理》中，虽然没能为数学建立起严密的逻辑基础。可是他们在这部伟大的著作中，构造的命题演算系统和高阶逻辑，以及为了防止悖论而提出的类型论，为逻辑学的进一步发展奠定了坚实的基础。1907年，布劳威尔指出数学的基础不可能从逻辑学推导出来，每一个命题的真假与所采用的逻辑系统有关。在一个逻辑系统中，有些命题既不能证明也不能推翻。布劳威尔由此看出排中律不是一条普遍有效的逻辑规律。去掉排中律以后的逻辑系统并不会失去严密性，只是能够通过推理确定的命题会有所减少。

　　二十世纪三十年代，哥德尔连续发表重要论文《逻辑谓词演算公理的完全性》和《PM及有关系统中的形式不可判定性命题》。在后一篇论文中，他阐明瞭任何逻辑系统的协调性得不到最终证明的重要事实，这相当于宣布数理逻辑永远不可能圆满，逻辑的发展没有止境。二十世纪五十年代后，逻辑学向着多元逻辑、模态逻辑、认知逻辑等非经典逻辑方向发展。

　　希腊哲学家柏拉图认为，逻辑知识和天文学，几何学一样，是来自理念世界的学问，是絶对正确的，永远不会改变。可是，到了十五六世纪，古代天文学发生了危机，十九世纪初出现了非欧几里德几何，把天文学和几何知识看成絶对真理的观念受到挑战。直到十九世纪中期，康德仍然断言牛顿所阐明的力学原理是永恒的真理，放诸四海而皆准。可是，康德死后不到五十年，相对论诞生了，为絶对时空观念敲响了丧钟。今天，如果有人赞美上帝赐予我们理性的逻辑，我们就有理由说，人们从上帝那儿获得的真理并不完美。要不是上帝欺骗我们，就是上帝并非万能，他的想象力比哥德尔差劲。如果有人说时间和空间的观念是与生俱来的先念模式，我们就可以说，这种模式并不全面，至少不能正确反映高速运动系统和宇宙在大尺度中的情形。那么，为什么它们不能反映高速系统和宇宙大尺度上的情形呢？因为我们以及我们的前辈都没有在这样的环境下生活过，无论在我们的文化传统还是可能的“集体潜意识”中都没有这个东西。可见，欧几里德几何和牛顿时空观来自于人们的生活体验，而非欧几里德几何是在欧几里德几何基础上的大胆猜想。由于时代的局限，牛顿对时空性质的猜想不如爱因斯坦准确，欧几里德不如罗巴切夫和黎曼大胆。所有知识都来自猜想后的验证，只是存在着高明的猜想和逊色的猜想，得到验证的猜想与没有得到验证的猜想的差别。认为理性认识比感性认识更真实可靠并没有充足的理由，只是因为她往往以全称命题的形式出现，实用的范围更广泛，我们才需要她。

　　有无归纳逻辑的问题一直存在争议。培根正确地指出，演绎不能创造新知，自然规律只能从经验中概括得来。他初步概括出从部分对象的性质推知整体性质的一般方法。可是，培根的归纳法却并非确定无误的推理形式，经过人们的不懈努力至今仍然没有得到严格意义上的归纳逻辑。

　　在数学上有一种叫做数学归纳法的推理方法，应用这种方法，的确可以将适合于个别情况的命题，推广到无穷集合上去。和一般演绎逻辑一样，数学归纳法也是一种必真的推理。既然数学归纳法成立，为什么我们仍然否认存在归纳逻辑的说法呢？应该注意到，数学归纳法的根据是皮亚诺公理。这个公理所涉及的对象虽属无穷，却只针对与自然数集有关的命题才实用。而自然数集合是所有无穷集合中的最小者，它与连续统之间不能建立一一对应关系。这就是说，数学归纳法无法在一般无穷集合上应用。

　　不过，这还不是最重要的，更重要的是在皮亚诺公理的两条约定中，有一条是：“如果n=k属于自然数，那么n=k+1也属于自然数。”由于k的任意性，这个约定实际上是一个涉及到无限对象的命题。因此，数学归纳法并不是真正意义上的归纳逻辑，而是在从一个涉及无穷对象的命题推导出另一个涉及无穷对象的命题的演绎方法。

　　否认归纳方法的逻辑意义，并不能贬低归纳思想的重要性。归纳的思维形式的确很重要。在知识创新过程中，首先需要的不是证明某个结论的正确性，而是提出需要证明的命题。以部分事实为依据，通过归纳猜想提出全体对象可能满足的性质，是一种非逻辑的过程。不过，没有归纳思维，就无法创造出命题，证明也无从下手。

　　哥德尔不可判定性定理的证明，相当于宣布了任何一个逻辑系统的一致性都不可能得到最后确认；布劳威尔逻辑体系的建立，说明传统逻辑并非无懈可击；数学归纳法并非真正的归纳逻辑。一系列事实表明逻辑并非固定不变，她来自于人的创造，目前还处于发展中，未来的发展没有止境。既然逻辑学有自己发生和发展的历史，那么，逻辑学的全部命题，就不应该是亘古不变的，不可能离开人的头脑而独立存在。

　　和不能贬低归纳思维的重要性一样，我们也没有理由贬低逻辑思维的积极意义，不能忽视逻辑推理给予我们的明确启示。爱因斯坦发挥其非凡想象力，描绘出了在宇宙大尺度上，从来没有人看见过的空间模型。可是，在建立宇宙方程的时候，由于担心宇宙膨胀的理论推导会和圣经中的“创世说”相吻合，因而不尊重逻辑推理的结果，将正处于膨胀中的宇宙，改述为一个有限无界的静态模型，丢失了从理论研究中发现宇宙膨胀，创立宇宙爆炸学说的机会。英国物理学家狄拉克充分相信理论计算的结果，依据方程的非常解，预言正电子的存在。精彩的历史，从正反两方面显示出逻辑思维的力量。

　　既然我们有了逻辑的方法，而演绎逻辑又是必真的逻辑，那么应用这种必真的逻辑是不是就可以得到表征客观世界的絶对真理了呢？问题可不那么简单。因为认识的可靠性不仅需要推理方法可靠性，还与推理的逻辑前提是否正确有关。三段论式的可靠性无庸置疑，但是，推理所应用的大前提往往是一个涉及到无穷对象的全称命题，即使不是公理，也是由公理推导出来的定理。万一它的可靠性得不到满足，应用三段论推导的结果也可能发生错误。由于我们已经否认了归纳逻辑的存在，任何全称命题的可靠性无法得到确凿的证明。所以，有了逻辑方法，我们依然不能够保证絶对真理的存在，结论正确与推理过程是否符合逻辑不是一回事。

　　我们必须看到，纯粹的逻辑推理不能创造新知识，没有非逻辑的想象，科学就不能发展。然而，认为逻辑思维会阻碍想象力发展的说法也不符合事实。科学发展的历史表明，并不是逻辑思维压抑了想象能力的提高，而是想象能力的发展需要逻辑方法的支持。在通过解方程获得实际问题的数学解的时候，我们需要进行移项、合并同类项、方程两边同时除以未知数系数等运算，每步运算都必须按照数理逻辑的法则--也就是方程运算的一般规则--进行。对于稍微复杂一点的问题，放弃这些法则，通过想象寻求问题的答案，是相当困难的。如果没有从二维到三维空间转化的逻辑分析，高维空间是人的经验无法涉及的，其性质更无法想象。在创新知识的过程中，努力发挥逻辑推理辅助下的想象力，才能有所突破，有所收获。不通过想象创造出新知识体系是不可想象的；拒絶逻辑推理，单凭想象建立起知识体系也是不符合逻辑的。

　　为了说明逻辑的本质和由来，我们再来回顾一下几何学的发展历程。

　　两千三百多年前，希腊数学家欧几里德写成《几何原本》。该书从五个显而易见的公理出发，应用严密逻辑方法，推导出四百六十五个真命题，形成一整套几何理论。应用《几何原本》中的结论处理大到行星运动，小到微观物体的实际问题，没有发生任何错误。所以历代思想大师无不对其推崇备致。十九世纪以前，除了休谟这个不信鬼，不信神，“天下第一怀疑论者”外，所有哲学家一致恭维欧几里德几何是对宇宙性质的全真刻画，是絶对真理的化身。康德把欧几里德几何说成是絶对可靠的先验原则之一。以强调运动发展着称的黑格尔，认为欧几里德几何是宇宙絶对精神的最高体现，已经达到了人类对宇宙空间性质认识的顶峰，不存在任何发展的余地。

　　可是，在数学界内部，对欧几里德几何的看法却不那么统一，一直都在为她的第五公理是否恰当争论不休。在《几何原本》中，这个公理的叙述如下：同一个平面内，一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线延长后，必定在同一侧相交。和第五公理不一样，前四条公理虽然也没有经过严密论证，却非常明显，似乎是不证自明的。而第五公理却不具有那样的显明性，从表述方式上来看，也显得有些转弯抹角，拉拉扯扯。是否可以用更加简单的命题取代这个论断，或者通过其他公理予以证明呢？历来很多数学家和数学爱好者，将其毕生精力投入第五公理的替代或者证明之中。可是，他们统统都无功而返。其中稍有价值的成果是普列菲尔提出的替代公理：过平面上直线外一点只能引一条直线与已知直线不相交。其实这只是第五公设的等价命题，叙述方式上简捷一点，没有实质上的改进。

　　十八世纪末，人们终于感悟出一个道理：第五公理不可能得到实质性的简化，也不可能从其他几条公理中推导出来。但是，取消了第五公理，能够推导出来的结论将减少百分之七十以上。既然如此，又能不能改用一个与第五公理相冲突的假设，推演出与欧几里德几何不相同的几何学理论呢？这个想法首先降落在一个名叫施韦卡特的法学家头脑中。1804年，施韦卡特率先发表文章，指出平行线公理是无法通过逻辑方法给予证明的，如果假设三角形内角和小于180度，用以取代第五公理，就有可以建立一种新的几何，他把这种几何叫做“星空几何”。不过，施韦卡特并没有把自己的想法付诸实施，因而对科学的发展并没有发挥多大作用。

　　从1815年开始，喀山大学的罗巴切夫斯基开始研究非欧几何。他大胆地提出过直线外一点至少能够引两条不同的直线与已知直线平行的命题，用以配合欧几里德几何其余四个公理，推演出一套几何体系。罗巴切夫斯基于1829年发表了题为《几何学原理》的著作，向世界公布了自己的研究成果。通过严密论证，可以看出罗巴切夫斯基所得出的命题并不和人们的常识相悖，而整个逻辑体系的严密程度也不亚于欧几里德几何。

　　既然罗巴切夫斯基能够另选假设，代替欧几里德第五公理而不会与其余四条公理发生矛盾，这就说明瞭第五公理的确是独立于其他几条公理的命题，这样的命题显然不能从其他几条命题中推导出来。就是说，非欧几里德几何的创立不但没有推翻欧几里德几何，反而证明瞭第五公设的独立性和欧几里德几何理论体系的协调性。同时也说明瞭欧几里德当时把第五公理作为整个命题系统的逻辑出发点，是完全正确的，也是高明的。

　　非欧几何的出现，没有推翻欧几里德几何，却推翻了人们头脑中存在固有逻辑的判断，也推翻了絶对真理的观念。真理是什么？是人们对客观规律的正确描述。客观世界是否存在规律？能不能找到描述客观世界规律的絶对真理？人的认识究竟是对主观经验的刻画，还是对客观真理的破译？这些亘古不变的命题，直到非欧几里德几何出现之后才开始明朗起来，逐步获得了明确的，令人信服的答案。

　　关于絶对真理的信仰最早源于理念与原子之争。无论是柏拉图、德谟克利特还是亚里士多德，都承认客观真理的存在。只不过，柏拉图的真理存在于理念世界中，人类发现和认识真理的根本途径是理性思维。德谟克利特和亚里士多德则认为真理存在于原子的运动过程中，人首先通过感觉，形成外部世界的表象，然后再应用理性方法揭示真理。不过，无论哪个学派，不论她是唯物主义的还是唯心主义的，都肯定絶对真理的存在性，同时强调自己哲学的唯一正确性，这已经成为所有哲学家的通病。

　　非欧几里德几何的出现，彻底粉碎了所有柏拉图主义者——包括唯物主义和唯心主义宿命论——的真理梦。虽然，欧几里德几何学不会因为非欧几里德几何的出现而退出历史舞台。但是，如果把欧几里德几何说成絶对真理，与之不相协调的非欧几里德几何又应该置身何处？看来科学理论和几何学中的第五公理一样，存在选择的余地。就是说，所有的科学理论都只能看成人为选择的命题系统。自然界是否存在规律是一回事，人们对客观世界的描述是另一回事，知识的可靠性的确值得怀疑。任何知识的逻辑体系与对公理的选择有关。如果一定要在刻画知识体系的时候用到“真理”的概念，我们不得不接受真理与客观世界的运行规则可能有差距，因而应该尽量避免使用“絶对真理”这样的字眼。而且，我们还得承认“真理”不止一个的事实。就是说，对于往古来今的人类经验而言，可以杜撰两个以上互相冲突，而又各自协调的理论体系，对自然界予以说明。

　　欧几里德几何第五公理所引起的麻烦还不止这一点。大约在罗巴切夫斯基发表第一个非欧几里德几何学之后二、三十年，德国数学家黎曼大胆假设过直线外任何一点，都不存在与已知直线平行的直线，从而推导出又一套非欧几里德几何。最初，人们认为罗巴切夫斯基几何和黎曼几何与现实世界有一定距离，所以有人称之为“星空几何”，也叫“抽象几何”。

　　到了二十世纪初，爱因斯坦创立广义相对论，他的同学格罗兹曼在帮助他解决计算问题的时候发现，爱因斯坦描述的宇宙模型，是具有黎曼几何性质的空间。就是说，宇宙在大尺度上是符合黎曼几何性质的，而与欧几里德几何不一致。当然，在一般尺度上，按照黎曼几何和欧几里德几何得出的计算结果，差别很小，远远低于可检验的程度。也就是说，她们是同样适用的。只不过应用欧几里德的理论体系，在计算上简单一些。与此类似，在低速运动的世界里，用牛顿力学计算的结果和相对论的计算结果几乎没有差别，而在高速世界里，牛顿力学就无能为力了。由此看来，至少对于低速世界和一般尺度的空间而言，存在多种科学理论可给予恰当的描述。

　　很显然，和黎曼创立非欧几里德几何时的情况一样，爱因斯坦在创立广义相对论的时候，并没有获得宇宙大尺度上黎曼性质的空间的直接经验。按照爱因斯坦自己的说法，广义相对论的创立出于独自的想象，他觉得宇宙不应该像牛顿所说的那样，而应该像他所想象的那样，没有别的根据，也不需要别的根据。广义相对论和黎曼几何都源于科学家的“想当然”。但是，这并不能推翻知识来源于感觉的判断。因为在建立黎曼几何之前已经有了欧几里德几何，其中直线的观念来源于感觉，两条直线相交与不相交的区别来源于感觉。创新科学知识的基本方法是源于感觉基础上的猜想。

　　假设只是因为黎曼几何找到了自己的实用场合，我们才称之为科学理论的话，直到现在罗巴切夫斯基几何都没有实用的空间，则不能将其列入科学的范围，这显然是不恰当的。数学研究的对象，是现实世界中的空间与数量关系，也是属于我们的思维领域中可能的空间与数量关系。也许多维空间几何永远没有现实空间和它对应，只要这种几何学的公理体系是严密的，就是科学可以接受的。二十世纪初，法国数学家彭加勒利用罗巴切夫斯基几何作为工具求解一类非线性偏微分方程获得成功，显示了罗巴切夫斯基几何的科学价值。可见，不应该因为科学理论暂时缺乏实用性而放弃。

　　所以，对待知识的创造我们必须拥有足够的宽容度。把现有科学知识看成不变的教条，以特定知识体系为标准，衡量其他知识系统的价值是错误的。科学理论既然出自人的猜想，科学理论就不一定拥有自己适用的场合。只要理论体系内部是相互协调的，就可以接受。创立多个相互冲突的理论，同时对人类有史以来的总经验，给予充分解释的情况也是常有的。由于知识的可靠性得不到最后的证实，任何理论都可能被更加全面、更加深刻的理论所取代。科学理论除了有一部分可以直接用来阐述客观世界的面貌而外，另一部分只能期待出现自己的适用范围。总之，在任何情况下，都不应该把任何一种科学理论，看成不变的，唯一正确的，放诸四海而皆准的真理。