皮亚杰儿童心理学的价值，主要体现在儿童心理发展的阶段性划分上。儿童获得最初的知识结构以后，通过反复验证，反复修改而臻于完善。在这个过程中，长辈的教导和来自社会的干预经常发生。絶大多数学前儿童建立认知模式，都是在长辈影响下实现的。即使儿童所接受的早期教育存在差异，他们认知结构演化的各个阶段一般不能跨越，智力发展的阶段性不会改变。和人类创造的科学知识一样，儿童所建立的思维模式，只是与客观世界之间的同构映射，也就是客观世界的演变与孩子们头脑中的逻辑运演之间存在着一致性。儿童智力的发展，表现为思维运演方式向着越来越灵活，越来越完善的方向前进。在研究认识过程的时候，既要把儿童的思维模式的形成和所接受社会文化影响联系起来，又要把儿童通过接受教育发展智力的情况和整个人类认识客观世界，创建知识系统的过程区分开来，才能得到可靠的结论。

　　人的智能取决于对世界的认识水平。个人的知识有三方面的来源，首先是从社会文化获得的信息；其次是个体经验的理论概括；最后是个体在已有的知识体系基础上进行逻辑运演，得出的新命题。后一过程可以使知识更加条理化，让其中不够明显的部分显现出来。对我们每个人来说，大多数知识都不是从亲自体验和独立创造的途径得来的，而是通过接受教育的途径获取的。就是说，对社会文化的继承是个体知识的主要来源。

　　社会发展到今天，几乎每一个人都必须进学校读书，我们的青少年时代都是在学校中度过的，都是在校园中成长的。我们所获取的各种知识，所掌握的思想方法，都是在学校教育的帮助和制约下形成的。一方面由于儿童接受能力具有阶段性特征，每个人都无法跨越较低的思维发展阶段，跃迁到较高级阶段上去。另一方面是学校教育是一种有组织的活动，其教学内容不能不照顾大多数学生的接受性。同时，现代科学知识是具有逻辑结构的严密体系，没有对基本知识的理解，就无法接受高级形式化知识的内容。因此，学校教育必定具有严格的阶段性。布鲁纳认为只要教学方法得当，可以对儿童传授任何形式的思维方式。而皮亚杰则坚持儿童智力发展具有严格的阶段性。从下面的分析中可以看出，皮亚杰反对布鲁纳的说法是站得住脚的。而且，把握学生思维能力发展的阶段性特点，对于制定正确有效的教学方法具有决定的作用。

　　以下主要讨论的是在校学生思维能力发展的阶段性特征。

　　小学低年级学生上数学课，最先接触到的是自然数的加、减法。面对一道应用题，首先闪过小学生脑海的问题是“用加法还是减法？”。这种思维习惯的形成也许和老师经常向小学生们提出类似问题有关，而小学生总喜欢争先恐后地集体回答。如果全班同学回答正确，老师会流露出满意的微笑。如果大多数人答错了，老师就会反问一句：“真的是用减法吗？”这时总有那么几个机灵鬼会抢先喊叫：“加法！”无论小学生们是不是经过认真思考后得到了自己满意的结果，在老师的诱导下，他们最终总能掌握这种抽象推理的模式：知道部分的数量求整体数量时用加法，比多比少用减法。这种推理判断不仅抽去了数铅笔还是分苹果的实际内容，也不必关心数量的具体多少。怎样计算才能得出正确结果，是具有抽象意昧的一般形式。掌握了这种思维形式，只要问题一经提出，就可以不顾及问题所研究的内容，迅速将问题纳入已经掌握的逻辑体系，应用体系特有的规则进行推断，这就是小学生的最初的抽象思维。

　　小学生不仅对于抽象思维感兴趣，对其他活动同样具有浓厚的兴趣。他们喜欢唱歌、喜欢跳舞、喜欢绘画、喜欢听讲故事、喜欢做游戏。在这些活动中，他们获得快乐和成功的体验，树立成就感和成材的意识，同时养形成独立思考和与人合作的习惯。文革前，每个学校都流行着仅属于孩子们的传统活动，如捉迷藏、跳绳、踢毽子、跳橡筋绳、滚铁环、抽陀螺等等。现在有了电动玩具，电脑游戏。原来的儿童游戏丢失不少，可是活动的内容依然很丰富，而且更具有科技含量。孩子们在游戏中不但能够获得乐趣，还可以养成互相合作，吃苦耐劳的精神，培养竞争意识。在一些竞技活动中，还可以把课堂上学到的知识付诸应用，使知识得到巩固。

　　高年级的数学应用题，必须经过若干步骤才能完成。有经验的老师往往会反复展示自己寻求解题方法的思维过程。解决这类题目大致有两种不同的思路：其一是由已知到未知的综合法。用这种方法推断的思路是首先考虑从题目给出的已知条件出发，能够求得哪些量？求出这些量后又能求得哪些量？通过不断设问和解答设问，直到所能求出的量，正好是题目要求计算的量，然后再按与分析思路相同的顺序将具体运算写出来。其二是由未知到已知的分析（逆推）法。用这种方法推断的思路与综合法恰好相反，最初的设问是：要求出题设求解量，需要先求出哪些量？而要求得这些量，又应该事先求出哪些量？不断地设问和解答设问，直到需要事先知道的量就是题目给出的已知量，然后再按照与思考时相反的顺序，把计算过程书写出来。

　　在老师的指导下，学生总是自觉或不自觉地使用上面所说的那两种互逆的推理方法，在已知和未知之间架设桥梁。有时也免不了双管齐下，两种方法同时采用，以便让思路更为通畅。到了这个时候，虽然解题的每一步计算仍然离不开“加、减、乘、除”，但是，思考的重点已经发生了转移。究竟用什么方法进行计算的问题已经降到次要地位，可计算性判断更为关键。于是，初级阶段的思维形式——加法还是减法的思考——已经变成在高级阶段形式统帅下的内容，不属于重点思考的对象了。学生所关心的重点是：已知哪些量，可以计算出哪些量，也就是可解性判断。成了需要形式化的法则。至于具体的计算，一般都在书写答案阶段再予以关注和确定。

　　必须注意学龄儿童在接受正规教育前，对某些事物已经具有自己的理解方式，形成了“先入为主”的知识结构，这就是他们正规学习之前的知识背景。可以说，孩子们的心不是一张白纸，学校教育针对一群对学习内容具有不同理解方式的儿童进行。比方说，他们都懂得没装东西的瓶子叫做空瓶子。虽然可能听说过空气的存在，可是，我们所谈论的“空瓶子”，并非瓶中没有空气。关于这一点，孩子们头脑中的印象是模糊的，大多数小学生对空瓶子里边能不能再装东西不能正确回答。我读小学时，自然课老师给我们做了一个实验：在瓶口上塞一个塞子，塞子上插一个漏斗，再往漏斗里边加水，水是不会流进瓶中去的。实验给我们的印象是，空瓶子里头充满了空气，空气占据了空间。这个实验对于知道空瓶子中有空气的孩子来说，可以进一步懂得空气占据空间的道理。对于还没有空气观念的孩子则可以纠正其对“空瓶子”的狭隘理解。如果在进行教学之前，不了解学生对于所学知识已经具有怎样的印象，我们的教学将失去某种针对性。

　　我询问过部分小学生，调查过他们对光的理解方式。除极个别人知道光速而外，大多数小学生都只注意到光照在教室里头；光可以照在墙上；太阳光芒万丈；晚上教空里没有光。经提示性询问，他们会说阳光从窗户中射进来。他们的知识多半是来自于长辈的教导，有的来自语文教材和人们的习惯用语。所有孩子都很难把光和在空中高速飞动的粒子或者类似水波那样的过程联系起来。对于人能看见物体的解释更是五花八门。大多数人说，物体是亮的我们就看见了，个别人说是眼光照见了物体。很多人只知道是用眼睛看见物体的，很少有人想到经物体发出或者反射的光进入我们的眼睛，并在视网膜上形成像。在谈到为什么能把“液拉罐”中的饮料吸起来时，大多数孩子会认为这是一个奇怪的问题。回答说：就是能吸起来嘛。

　　突破孩子们的糊涂观念并不容易。其实，他们在应用“空瓶子”、“眼光”、“吮吸”这些词彚的时候，已经预设了相关事物的理解方式。而语言本身的缺陷，往往会给孩子们造成混淆。比如，我们的习惯性用语“不计前嫌，要向前看”中，两个“前”字所表达的时间先后顺序正好是相反的。而“中国队战胜了美国队”和“中国队战败了美国队”两句话中的“胜”与“败”，却表达了同一个意思。在孩子的心中，互相冲突的观念可以长期幷存，在解释某些事物时采用一种理解，解释另一些事物时采用另一种理解，这当然没有错。但是，概念的混淆可能影响理解方式的推广应用。我们的教材都采用正面陈述方式，不可能针对孩子们形成的各种模糊观念一一辨析，需要教师在授课之前对孩子们的糊涂观念有所瞭解，在适当时候以适当的方式予以辨析和纠正，让他们明白地知道在什么情况下采用哪一种理解方式。

　　孩子进入初中一年级，学会了用方程解应用题。他们的逻辑思维方式会在这个时候发生一次重大的转变。因为用方程求解的大多数问题，很难用“综合法”或“分析法”开辟从已知到未知的通道。规划分步计算方案，或者直接写出由已知量计算未知量的综合算式的尝试，也不容易获得能成功。而在列方程解决实际问题的时候，可以把题目求解的未知量当已知量，首先找到用这个未知量和题设已知量计算有关量的表达式，然后再将题中的某种等量关系翻译成等式，得出方程。最后再按方程特有的运算规则进行演算。对于初中一年级学生来说，这种方法奇特而又新颖。掌握了这种方法的人，会感到昔日那些让自己绞尽脑汁的复杂应用题，一下子变得很简单。

　　仔细研究会发现，通过列方程解应用题，并没有完全离开综合法与分析法的推理方式，也会经常遇到可计算性判断。但是，到了这个阶段，相对于列方程和解方程来说，这些思考成了更为基础的问题。学生们更关心的是如何得到含有未知量的等式，如何从等式中把未知量求解出来。和前面所说的情况一样，在研究用方程求解应用题时，具体的计算方法是算术问题形式化中的形式，现在却成了代数问题形式化的内容。怎样获得方程，以及怎样从方程中将未知量求解出来的形式化方法，才是需要解决的重点。

　　多项式的乘法和分解因式是互逆的运算，却具有不同的解题思路。乘法运算可以规定严格的步骤。分解因式的题型很多，一般需要根据经验猜出一种做法，如果往后的计算能够顺利得出结果，这个猜想才是有效的。这就需要培养学生对猜想的统摄力和进行选择的本领。这和微积分的运算一样，求导数有基本法则可寻，即使记不得导数公式，用极限运算也能成功。积分运算却不一样，有些题目只有一种独特的方法有效。在解题的时候务必多看几步，所采用的基础运算对于后继积分运算有效，才是可取的。

　　每一个形式化学习阶段，都意味着更高级的抽象思维能力形成，先前的形式化方法，会变成进一步形式化的内容，而退居次要地位。新的形式化方法具有更加抽象的特点，也具有更加广泛的应用。所以皮亚杰说，形式化方法本身具有层次性的结构，不可能随意超越，是有根据的。

　　开始学习平面几何的时候，学生往往会感到束手无策。有人认为越是具体事物，越形象就越简单，越抽象的事物越不容易掌握。其实不然。平面几何说起来形象直观，却并不简单。几何研究的对象是图形的通性，代数偏重于计算，几何偏重于推理证明，证明的内容往往是同类而不同一的对象的性质。寻求证明方法没有统一的思路，很难确定统一的程序化操作方法。一开始，学生甚至不知道题目究竟要求自己做什么，很不习惯。经过一段时间的努力，大多数学生开始领悟证明的思维形式。其实相当多的题目仍然需要应用“综合”与“分析”的思路，在“已知”与“求证”之间架设桥梁。有的老师欣赏通过测量，引入三角形内角和是180度的结论；也喜欢通过数值运算来印证一下勾股定理的正确性。在讲解相关内容之前如此这般地演示一遍。“玩一玩”也许是可以的，但是，却不能代替证明，更不能作为主要教学内容。因为学习几何的目的在于让学生理解命题之间的演绎关系，掌握命题的证明方法。欧几里德几何出发点是几条简单公理，凡是经过严密证明的结论都与客观世界中的事实相符。在平面几何教学过程中，学生可以体会到一种和谐的美和逻辑的力量，产生对抽象思维的信任，对科学的信任，初步懂得构建知识体系的一般要求。过多的演示不仅不能奏效，往往还会造成误导，以为数值运算真的能代替逻辑推理。

　　不过，我们还应该注意到，学生的抽象思维能力在反复训练中得到加强的同时，会形成对逻辑推理某种依赖。表现为对经过证明的结论更容易记住，应用起来更为得心应手，而对缺乏逻辑联系的散乱信息记忆能力的发展却比较迟缓。我们让学生掌握的知识，不可能全都通过严密的逻辑推证。在向中学生传授知识的时候，不得不经常采用缺乏严密性的推理方式进行。一部份知识的传授只是需要给他们编制一个记忆的方法，比如对于初中教材中的化合价，金属、非金属化学活动性顺序，大多时候都是通过反复诵读口诀的方式记忆的。

　　一开始，学生很难把握决定电磁振荡周期大小的各种因素之间的关系，老是混淆周期和频率公式。我分析说：如果振荡回路中的电容器容量大，每次充放电的电量多，充放电时间会延长；如果线圈自感量大，对电流的阻碍作用强，电流变化慢，对电容充电也缓慢，两种作用都使周期延长。所以振荡周期与电容量和线圈自感系数成增函数关系。以上说明虽然无法代替振荡周期公式的推导，却给出了一个具有抽象意味的推理，用他们习以为常的逻辑，把两个表面上看似无关的因素联系起来，为学生提供了一种理解记忆的方法，很有效。

　　在采用模糊推理帮助学生记忆的时候，应尽量防止引入错误思路，避免留下“后遗症”。比如在解释火箭飞行的时候，形象地说成是火箭向下喷射的气流作用于地面，地面的反作用力迫使火箭加速上升，好像比较直观，具有反作用力观念的学生容易接受。而在解释火箭会在大气层中加速时，也可以勉强说成是受到空气反作用力作用的缘故。但是，当问到火箭在星际太空中如何加速时，就没法予以阐明瞭。所以，不要为了迁就学生的接受性，对事理做过于简单甚至歪曲的解释，否则总有一天会遇到不可克服的矛盾。

　　我们所掌握的科学理论都是忽略了某些次要因素后的简化模型。在编撰难题的时候，往往将这种方法到处滥用。而在某些的场合，被忽略的恰恰是主要因素，造成理论上的错误。06年某地“诊断性”物理考试的一道题，设带电粒子在有界匀强电场中加速，然后在电场外的磁场中沿曲线运动到高电位，问经几次加速后可以达到多高的速度。这种明显违反能量守衡原则的问题显然是由有界电场的假设引起的。虽然这种题目对考察学生的演绎能力的确有效，在命题考试中经常采用，给学生造成的误导却很严重。

　　中学生创新意识发展迟缓的深层次原因是我们目前的学校教育以传授知识为主，我们教给学生的知识，都是在承认前人所创造的知识体系没有缺陷的前提下演绎出来的。如果在上面提到的那次诊断性考试中，有考生对题目提出了质疑，阅卷的老师会不会给满分？如果给了满分，没有提出质疑的试卷又该怎样评分？其实，我们在教学中，总是有意无意地打击对现有知识的怀疑态度，遏制学生创新意识的形成。事实上，通过讲课，布置作业，组织考试，我们总是敦促学生确认现有知识的可靠性，任何对知识的怀疑态度都将受到惩罚。然而任何知识都有局限性，都只在一定范围内有效。因此，在讲授自然科学定律的时候，有必要介绍科学史的相关内容，帮助学生树立科学的知识发展观，让学生学会用怀疑的眼光看待前人的创造成果。

　　高中生的逻辑推理能力飞速演进，是和高中阶段的数学教学内容相一致的。他们一开始就学习了极具抽象性质的集合论和函数论。尽管高中数学中“两论”知识还很肤浅，但是，已经足以让学生思维方式产生一次不小的飞跃。一开始，面对含有两个未知数的等式y＝f(x)，很多学生总把她当作方程，因为没有确定的解而不知所措。其实，正是解的不确定性，造成了从整体上把握两个集合之间映射关系的可能。在这里解方程的方法，已经成了进一步形式化的内容，而函数的对应法则是更加抽象的形式。如果在介绍具体函数性质之前给学生讲明函数的思想方法，使他们明白研究函数的目的已经不是计算确切数值解，而是建立和研究两个集合之间的对应关系，对于他们转变思维方式，顺利进入新的学习阶段，必定会有很大的帮助。

　　在学习数列和数学归纳法之后，学生们接触到了由个别到一般的归纳思想。可以说在此之前，他们的思维基本上是沿着从一般到特殊的方向，按照以“公理、定理”为大前提，题设条件为小前提，从中推出结论的三段论式进行的。继平面几何中涉及到命题的构成，在立体几何和解析几何中又学到了命题之间的等价性、充分性和必要性的逻辑关系。这些知识和方法会使学生的理解能力，推理能力和想象力大大增强。

　　由于传统教育只重视知识的传授，在一般情况下，学生不会注意研究自己的思维过程，缺乏从解题过程中概括出法则和思路的强烈愿望。做完一道习题，你问他是如何想到要这样做的，他会觉得这个问题很奇怪，所答非所问地说：就是这样做的嘛。很可能这就是大多数人在做练习的过程中，事倍功半的重要原因。我在教学的过程中向学生提出题后“三思”的要求，引导学生成功做好一道题目之后想一想这个题目属于什么类型；自己通过怎样的思维途径获得解题方法，寻找解题方法的关键性突破是什么；从这个题目中是否可以提取出带普遍意义的结论，在相应条件下推广应用。

　　以上是对中小学生，在学校教育引导下，思维方式发展过程的扼要分析，着重阐述了逻辑思维能力的形成。很显然，学生思维能力的形成过程与教学内容是紧密联系在一起，和教师采用的教学方法有直接的关系。人的思维形式不限于逻辑思维，还存在着形象思维和非逻辑的抽象思维。我这里说的非逻辑抽象思维，是介于逻辑思维和想象之间的模糊推理形式。在学校里，学生不仅需要发展抽象思维，也需要发展猜想和模糊推理能力。由于任何阶段逻辑思维能力的形成，都必须以较低级的思维形式为基础，所以，青少年智力发展会表现出阶段性特征。而基于想象力的形象思维和模糊推理却可以超越某些阶段。